关于平面桁架中应力波的分析和实验

塞缪尔·M·霍华德（Samuel M. Howard）与 鲍亦兴（Yih-Hsing Pao）

摘要: 平面桁架的动力学研究了沿着结构构件传播的和在节点处散射的轴向(纵向)的压力波。表示每个节点的轴向波的反射和透射的散射系数来自节点的动力学条件和相容性条件。在结构内复杂的多次反射波在考虑到散射系数和传播阶段制定的因素后，在频域内构造成新的回传矩阵。然后由傅里叶合成和由一个快速傅里叶变换算法派生而得到瞬态波。关于宽频带脉冲激励下的桁架模型加载的实验结果已经被提出，比较理论结果和瞬态波记录表明：轴向波理论的响应只有在很早的时间内是有效的。如果在节点处散射系数的修改允许模态从轴向波转换到弯曲波，则结果的差异性将大大减少。

简介

对桁架结构冲击荷载的研究最早可追溯到本世纪初，当时正在建造大型铁路桥梁携带重型机车。一些早期的研究工作被Nowacki提到了(1963). Boley and Chao (1957)研究了在桁架的节点处冲击荷载是如何生成由加载点发出，沿着构件传播，从节点的散射到另一端的应力波。此外，他们指出,通过计算从节点到节点所有可能的传播路径，桁架的动态响应可以被描述为一个在桁架内回传的波的叠加。因为波在一个典型的桁架内有许多不同的路径, 所有这些回传波的计算确实是非常复杂的。因为当时缺少电子计算机,他们在一个例子中只计算最开始的的两个或三个回传波。

最近，为了控制局部扰动或者监控结构的完整性，对于波的传播或者框架结构中振动的研究兴趣再一次回归了(Flotow 1986a,b; Nagem and Williams 1989)。本文报告了确定桁架的瞬态响应分析方法和应力波在实验室模型中的传播实验的观察。依据理论(Boley and Chao 1957)，假设桁架中的构件只承受轴向力，而且每个横截面的轴向应力都相同。这个关键的假设来自静态铰接桁架理论，其组成构件仅提供轴力。此外,只有轴力的假设是常用的静态分析，甚至当构件是通过与加固板铆接或焊接连接时，只要构件足够长,足够纤细，假设依然可行，但在应用荷载下不会扣除(Parcel and Moorman 1955)。在实验模型中，所有的结构构件，尽管被焊接在一起，因为作者在构造能让所有构件在同一平面对齐的铰支连接时遇到了很大困难。在节点处由于摩擦和松弛的非弹性效应在这里不需要考虑，动态响应被假定为整个结构线弹性(Howard 1990)。

稍后将在本文中表明,尽管,横向力在瞬态响应中扮演重要角色，但在静态分析中它们甚至可以被忽略。它们由于在节点处一个特定的横向波散射为（横向的）弯曲波时的模态转换而出现，再在下一个节点转换成轴向波。有趣的是,我们的实验表明,早期焊接桁架的瞬态行为仅能由轴向的波描述, 前提是在这些节点的散射系数的评估中已包含弯曲的影响。希望这个有限,简单,只涉及轴向振动的理论给出了关于早期瞬变的信息，这在主动控制,系统识别或结构的无损评估的应用中可能是有用的。

定义

先考虑一个有n个节点和m个构件的平面桁架。各个节点从1到n标记，而且每个构件被它两端的节点所确定。在分析中,节点会按字母顺序用大写字母I,J,hellip;Q来表示，构件由两端的节点的首字母来表示。与节点J或构件JK有关的相关物理量将会带上上标。例如，f^J表示在节点J的矢量力，u^JK表示构件JK的横向位移。n^J表示与m^J构件相连接的临近节点的数量(m^J = n^J)。

图片1描述了节点的几何模型。所有节点在由坐标X,Y表示的固定的笛卡尔坐标系中有固定的的位置。另外每个与节点J连接的构件有一组局部坐标x,y。

因此x^JK是节点J和构件JK中心线的共同的坐标, 而且x^KJ也是另一个节点K沿着同一条直线的坐标。

结构构件中的轴向波

　对于桁架中的构件JK,轴向位移U^JK(X^JK t)遵循以下著名的波动方程:

其中E =杨氏模量;p =密度，公式(1)的一般解为

其中A和D为任意两阶可微函数。

公式(2),这是式(1)的达朗贝尔解，有可能解释为应力在一个构件内可以表示为两个传递波的叠加，其中一个传播方向可以说是正在前往节点J的波（A），另一个可以解释为正在远离节点J的波（D）。在实际承受负载的桁架中,A和D是由作用于构件两端节点的力决定的。(2)经过傅里叶变换后得到谐波波的解为：

其中w=径向频率，a^JK，d^JK经过A^JK D^JK 傅里叶变换得到，波数k=w/c

在节点处的动态加载和散射波

为了介绍在一个节点处波的散射，我们只考虑轴向波，弯曲的贡献之后再解决。节点视为一个理想化的没有任何松弛的无摩擦销节点。假设两种类型的方程描述节点的动力状态:（1）为力的平衡方程，（2）是构件的变形协调方程。正如Boley 和Chao以及在附录I中更深入的讨论所揭示的，这些方程可以得到如下简洁的形式的解

Q包括连接到节点J 所有的构件，a^JQ(w) =轴向波通过构件JQ到达节点J的多种的频率相关的振幅。同样d^JM(w)表示了波在构件JM离开或前往节点。S^MJQ

节点的散射系数，通过解决上述力和变形协调的特定节点几何方程得到。源项S^JM(w),记录由于外力作用于节点出现的一部分离开波。S^MJQ 和S^JM(w)的公式在附录I中给出。

桁架中的回传波

各节点散射公式可用于计算整个桁架或框架的瞬态行为。这可能是在时间域或频率域。时域方法需要一个“射线追踪”程序在整个桁架内所有可能的回传路径，这可以证明很麻烦(Howard 1990)。这种方法的计算复杂度远远超出了大型数字计算机。如果mJ是附加在一个典型的节点构件的数量, 模态N的回传可写作射线路径的数量(mJ)^N 。,如果人想要考虑散射系数表现出频率分散(如本文后面的一节) ，射线跟踪的解将变得更加麻烦。因为每个射线的路径将包括一系列不同的散射系数,每个需要单独通过计算傅里叶反变换来计算瞬态。为了克服过度计算射线跟踪的要求,寻求更有效的技术计算桁架内的波。一种新方法,这里被称为回传法,就是以此为目的而开发的。

首先，将(4)合并成所有到达和离开波之间的关系的一个矩阵表达式。例如,对于图I中的节点，矩阵表达如下：

或者,更简洁的表达如下:

列向量d^J表示所有构件离开节点J的的完整列,并且a^J表示到达的。这里d^J被称为节点J处的总离开向量,而且a^J为节点J处的总到达向量。矩阵S^J叫做节点J的散射矩阵, S^J叫做节点J的源向量。

对于有n个节点和m个构件的桁架，dJ(J =1，2hellip;,n)在(6)中可被视为子矩阵，而且整个结构可以通过矩阵合并构造成以下形式:

或者,更简洁的表达如下:

列向量d表示所有构件离开所有节点的的完整列,而且代表了整个结构的到达波。这里d被称为整体离开向量, a被称为整体到达向量。矩阵S被称为整体散射矩阵,向量s被称为整体源向量。

(8)中d,a,S的大小可以由结构构件的数量决定。如果m1,m2,hellip;,mn表示在节点1,2,hellip;,n的数量，即为列矩阵d元素的数量。而且a应该是m^J的总和,等于结构构件的总数m的2倍，即为2m。这是因为每个构件在两端节点都被连接了一次。矩阵S的大小因此为2m乘2m, 方阵子矩阵沿对角线排列;s是一个大小为2m的列向量。

整体矢量d和a与位移因子进一步相关。离开波在到达构件的一端时产生，然后在构件中传播，变成另一端的到达波。因此,在一个构件中离开波和到达波之间存在一一对应的关系。具体地说,他们与位移因子相关。

其中l^JM =构件JM的长度。注意, (9)和(10)中的上标顺序是颠倒的。这是因为节点M在其中被不同地定义。在节点J中意为到达，在构件的另一端意为离开。其变化是由于坐标x的逆转。在节点J定义一个新的总向量,d^J,一个新的整体向量，d，整个结构的向量为：

d中单个元素的向量与d是完全相同的,但指示性指标被重新排列。d的元素根据目的地的节点而不是他们离开的节点分组。我们可以通过置换矩阵U等效表达这种关系:

其中U = 2 m X 2 m的矩阵，交换d^JK和d^KJ列向量d中的元素得到。像所有的置换矩阵,它由许多0元素组成而且在每一行和每一列只有值为1的单个元素。U的精确形式取决于相邻节点的方案已经屈指可数。一旦节点编号方案确定, 列向量中d^JK元素的位置就确定了，且置换矩阵可以很容易得到。例如, d^JK d^KJ是列向量中第i个元素和第p个元素,然后U_ip=U_pi=1

引进一个新的向量,向量(8)可以写成矩阵形式：

其中

L = 2 m列向量包含所有构件的长度。P称为传递矩阵。这是一个2m乘2m阶的对角矩阵，沿对角线包含位移因子 (9)和(10)。由(8),(13)和(14) 结构中的波和作用力之间的直接关系最终得到。

定义矩阵乘积SPU为回传矩阵R(w)( 2m乘2m阶)，而且(16)被写作

因子s(w)表示一个由作用于每个节点上的所有构件上的力f（t）产生的波经过傅里叶变换的源函数。当额外的力作用于一个或两个节点时，它可能包含许多零元素。因子(I - R(w))^-1是结构的传递函数,与桁架在激励s(w)频域内的响应d(w)有关。替换在式 (17) 中d(w)的一个元素与式（14）中的对应元素a(w)=PUd(w)得到桁架中一个结构构件的频率响应（位移）。

因为结构构件的频率响应涉及逆矩阵(I - R(w))^-1,所以当满足下式条件时，响应是唯一的，

这是桁架的固有频率的特征方程。

结果最后显示在式(17)中。与传统的结构矩阵分析(Nowacki 1963; Clough and Penzien 1975)相似,(I - R)类似于动态刚度矩阵和(I – R)^-1整个结构的动态合矩阵。然而,矩阵的物理含义非常不同。提出这种类似分析的有Nagam 和 Williams(1989),他们结合构件的状态变量的传递矩阵,位移u和法向力F的轴向波，节点矩阵的相关状态变量与构件另一端节点的相似。因为他们对结构的振动分析感兴趣, 他们制定构件中驻波的转移矩阵。目前的方式是在构件两端选择离开波矢量d和到达波矢量作为状态变量。d与散射矩阵相关,并与节点矩阵的作用力相关。辅以考虑传播波在结构的回传，得到与两个未知量a和d还有有关的额外相关的方程。下一节将会看到，这个方法特别适合评估瞬态波的傅里叶合成。

桁架中的瞬态波

计算构件JK中的轴向位移或应变的瞬态解,有必要计算这些量的到达波和离开波。由(3)应变的定义得U^JK(X^JK, w)对x ^JK的导数

为了计算瞬态解，需要联立式（3）（9）（16）并经过傅里叶变换，式（3）则变为

式（19）则变为

其中x =沿着每个构件矢量的位置;K =包含每个构件的波数的对角矩阵;e =u纵向压力对应的列向量。

式(20)和(21)的求解并不简单,但是,由于都与(I - R(w)^-1 相关，原则上,你可以保留此项来在（21）中继续计算积分。这相当于找到结构的正常模态的解决方案。然而,准确的瞬态解只能在找到大量的模态才能得到。另一种方法是扩展Neumann系的传递函数。

剩余部分Q_N 由下式给出：

联立式(22)(21)并且消去剩余部分，可以逐项评估逆变换获得射线法的解

式(24)中积分式的第一项包含加载力最初产生的波, 传播距离加载节点为x。第二项是第一项乘以R(w)得到的，包含源波在邻近节点第一组反射和传播。然后依次到第N项。

需要重要注意的是,在积分符号后，瞬态波的拆分代表了每一项的扩展不是发生在同一时间的。这些时间差异的产生是由于桁架构件的长度和构件中的波速可能不同。P(x, w)和R(w)中的各项保留了各种传播距离。截断系中最大起始时间为t ^_max = Nt_max,其中t_max 是所有构件中传播最延迟的（同一材料中最长的构件）。响应中超过t_max 的分离波是不存在的。

截断系的解有效直到时间t_max，之外还有一些回传波不被包括; 当t_max定义为所有构件中传播的最小值时，t_ma

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