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基于帕里斯定律的混凝土循环蠕变理论研究亚临界微裂纹疲劳扩展

Zdenek P. Bazant a,*, Mija H. Hubler ^b

^a Civil and Mechanical Engineering, and Materials Science, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, CEE/A135,Evanston, IL 60208, United States

^b Civil and Environmental Engineering, Massachusetts Institute of Technology, 77 Massachusetts Ave., 1-290, Cambridge, MA 02139, United States

文章信息 摘要

文章历史：

于2013年7月11日投稿

于2013年9月9日修订

于2013年9月14日通过审核

于2013年10月2日发表

关键词：

混凝土

循环蠕变

微裂缝

帕里斯定律

最近一项由在帕劳发生的一场灾难引发的调查显示，全世界有69座大跨度节段预应力混凝土箱梁桥在几十年中产生了过大的挠度，更多的箱梁桥也肯定存在这种情况。尽管显示出产生过大的挠度主要是因为落后的设计要求或静态蠕变规范,一些工程师还怀疑另一个重要原因可能是循环蠕变。许多研究人员通过实验探究了混凝土的循环蠕变，但缺乏一个合理且可适用在微观结构中，并可以外推至100年使用寿命的数学模型，。本文认为产生循环蠕变的原因是硬化水泥中预先存在的微裂纹的疲劳扩展。将断裂力学应用于被拉伸的微裂纹，或者以压碎带的形式压缩的微裂纹，可以计算得到宏观应变。这导出了压缩循环蠕变的数学模型，并通过文献中的实验测试数据验证和校准。循环蠕变与应力在时间上的平均值和应力幅值与材料强度之比的四次方成正比。这里的指数4是基于最近的发现，即在原子尺度上，帕里斯定律中指数应是2，但由于尺度增加，该指数必须增加。公式中的指数4表明，循环蠕变挠度对施加的循环应力的相对幅值非常敏感。对6节预应力混凝土箱梁的循环蠕变效应进行的计算，结果表明，由于自重的主导地位，对于大跨度桥梁（gt;150m），循环蠕变对挠度的影响可以忽略不计。对于小跨度(lt;40 m)桥梁，循环蠕变造成的挠度不可忽略，但无关紧要，因为在这种桥梁中静力蠕变引起了向上的挠度。然而，在中小跨径(lt;80m)桥梁中，循环蠕变会产生显著的残余拉伸应变，从而在梁的顶面或底面产生有害的拉伸开裂。

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背景介绍

1977年在帕劳建造的一座节段预应力混凝土箱梁桥，其跨度为241米，创下了世界纪录，但它在18年内挠曲了1.61米，这比允许偏差大5.3倍。工程人员尝试通过施加额外的预应力提升跨中，这导致三个月后桥梁崩塌（有死亡者）。随后在全球范围内对数据进行调查（Bazant et al.,2011a）显示，69座相同类型的大跨度桥梁在20-40年内遭受长期挠曲，其中大部分挠度过大，需要更换桥梁或施加补救性预应力。尽管详细的分析表明（Bazant et al., 2012a, 2012b），这些过大的挠度是因为严重低估了目前设计规范和标准中规定的数十年里混凝土的（静态）蠕变效应（ACI Committee 209, 1972, 2008; FIB, 1999; Gardner, 2000; Gardner and Lockman, 2001; Bazant and Baweja, 1995, 2000），一些工程师在会议上质疑由交通荷载引起的循环蠕变是否可能是一个重要的因素。对这个问题的探究是本研究的动机，在本研究中，确定了循环蠕变的本构定律并通过可用的研究数据进行了校准。

混凝土的循环蠕变，也称为疲劳蠕变或振动蠕变（俄语中为vibropolzuchest），是循环荷载产生的长期变形，它的效应超过了静态蠕变。1906年，Feacute;ret在实验中发现了这种现象，1925年Probst，1926年Mehmel和Heim和1933年Ban也发现了这种现象（cf. Bechyně,1959）。更多定量表征的系统性实验等到Kern和Mehmel（1962）和Gaede（1962）才实现。在第二次世界大战之后，许多研究人员通过实验研究了这种现象，并提出了各种近似经验公式(Le Camus,1946;LHermite,1961;Malmejster,1957;LHermite,1961;Murdock,1965;Gvozdev, 1966; Bennett and Muir,1967; Nordby, 1967; Bazant, 1968a, 1968b; Batson et al., 1972; Wittmann,1971;Whaley and Neville, 1973; Hirst and Neville,1977; Neville and Hirst,1978; Bazant and Panula,1979;Garrett et al.,1979; Hsu,1981;Brooks and Forsyth, 1986; Bazant et al., 1992; Pandolfi and Taliercio, 1998)。然而，相互矛盾的表述繁多，且至今还没有出现公认正确的理论。

1962年，Gaede(1962)根据自己对循环压缩的大量的实验提出了以下公式：

（1）

=由循环荷载引起的应变增量;=循环次数，=;=棱柱体的抗压强度;、=未提供力学解释的经验拟合参数;=脉动压缩时的瞬时弹性模量。式（1）是基于压缩循环得到的，其大小为压缩强度的14％到75％，这远远超出了桥梁设计所允许的工作应力范围（lt;的40％）。

Wittmann (1971)推广他的幂律(静态)蠕变曲线，，其中,是经验常数。他忽略了老化效应，并从热激活跃迁的假设中得出了双曲正弦函数。考虑到循环应力，其中=常数，、=循环应力的平均值和幅度，他依据经验推广了幂律，把常数指数替换为变量 ，其中，,是他通过Gaede的数据校准得到的常数。

Hirst与Neville (1977), Neville与Hirst (1978)和Whaley与Neville (1973)的实验数据最为全面和多样。Neville与Hirst (1978)提出了循环蠕变是由微裂纹引起的非弹性变形，但没有尝试建立微裂纹本身的模型。鉴于在一些实验中观察到的低应力循环蠕变下的硬化效应(Bennett and Muir, 1967; Hirst and Neville, 1977; Neville and Hirst, 1978; Whaley and Neville, 1973; Batson et al., 1972)，他们认为微裂纹发生在骨料界面上。Garrett与Jennings，Garrett et al. (1979)，推测这些微裂缝会暴露未水化的水泥，发生进一步的水化作用，导致进一步的变形。Hirst, 和之后的Brooks Hirst与Neville (1977); Brooks与Forsyth (1986)，假设了，其中是蠕变应变，，是校准参数。

这之后，Pandolfi与Taliercio (1998)在数值模拟的基础上，提出了较为复杂的混凝土循环蠕变计算公式。他们强调了两个概念：时间只与循环次数N隐式相关，即试验应根据循环次数N展开，且加载频率与加载速率间接相关 (Hsu, 1981)。他们还提出了基于应力空间中破坏面的损伤演化模型。然而，似乎没有提出基于循环载荷下单个微裂纹疲劳增长的模型。

现象学公式以两种方式处理循环蠕变：要么作为静态蠕变之外的附加变形(Bazant, 1968a)，要么作为静态蠕变的加速(Bazant and Panula, 1979; Bazant et al., 1992, 2012b)。两者都能拟合主要数据，毫无疑问，这是由于实验的持续时间有限(大多数少于10天，有些长达28天)。然而，外推至大型桥梁通常要求的100年或150年的寿命，得出的预测结果却大相径庭。

本文提出了循环蠕变的微观力学模型，并通过试验进行了验证。尽管在微观力学(e.g., Neville and Hirst, 1978; Garrett et al., 1979)或现象学损伤力学(Gao and Hsu, 1998; Maekawa and El-Kashif, 2013)已经用定性的术语直观地讨论过，但在一个世纪的研究过程中，似乎没有提出基于微观力学和实验验证的本构模型，这是本研究的目的。

微观机理

在疲劳脆化金属或细粒陶瓷中，一个关键的安全因素是裂纹的疲劳扩展。尽管这种危险的裂纹可能很小，但它们仍然是宏观裂纹，因为它们比材料的代表性体积元（RVE）大。与混凝土相比，这些材料从微米尺度上看是相对均匀的。

与金属和细粒陶瓷不同，混凝土RVE的微观结构从纳米尺度到宏观尺度的所有尺度上都是杂乱的，RVE的大小通常为0.1 m（假定为正常尺寸的骨料）。在所有尺度上，材料都充满缺陷和预先存在的裂纹。大于RVE的裂纹的增长被钢筋阻止，而小于RVE的裂纹对安全性的影响并不重要。在疲劳载荷下，必须预期此类裂纹会扩展，但它仅会影响非弹性变形，而不影响安全性，因为它们比RVE小得多。实际上，实验结果表明，在工作应力范围内（即应力小于强度的40％）对混凝土进行循环压缩加载，在随后的短时间内加载直至破坏之前，材料强度不会降低，而混凝土刚度仅会略有降低 (Hellesland和Green, 1971)。

图1（a） 三维普通微裂纹和I型币形裂纹；（b）一组稀疏的微裂纹和破碎带，每个尺寸为的立方体都有一组。

微裂纹细微增长导致的宏观应变

对于一个尺寸为a的一般的三维平面宏观裂纹（例如，Ⅰ型币形裂纹）;如图1a。对于压缩载荷，II型和III型会产生剪切裂纹，对于拉伸载荷，I型会产生裂纹。为简单起见，假定裂纹以自相似的方式扩展，并在平面内按比例a扩展。由于裂纹的三维自相似增长而产生的能量释放速率通常可以表示为

（2）

式中，是每个微裂纹的余能（或吉布斯自由能），=施加的远场应力，=无量纲几何系数，例如，在I型币形裂纹的情况下就等于。即使在三维中，，必须沿裂纹边缘变化，可以在微裂纹的平均能量释放率的基础上定义裂纹边缘的有效应力强度因子，即：

（3）

式中，一般来说，

（4）

这里=杨氏弹性模量，=无量纲几何系数。对于Ⅰ型币形裂纹的简单情况来说， (Tada et al., 1973)，其中。

根据方程式（2）和（4），裂纹的总能量释放率为：

（5）

对常数积分，得到

（6）

让每个微裂纹的体积为，为了简单起见，假设所有微裂纹的方向都是施加应力的法向方向。根据Castigliano定理（参见，例如Castigliano, 1873 or Fluuml;gge, 1962），我们可以计算每个裂纹的位移u，如下所示：

（7）

其中，是每个裂纹的作用力，符号是表征几何学中的无量纲常量。由于，在远场应力下由尺寸a的微裂纹形成引起的宏观应变为或

（8）

在个循环后的总微裂纹尺寸增量为，其中是个循环后的裂纹尺寸，是循环加载前的初始裂纹尺寸。根据公式（8），循环荷载引起的应变增量为

（9）

在失效分析中，需要考虑较大的。但由于使用中的蠕变应变总是很小，我们可以假设。注意，当时，，式（9）可线性化为：

（10）

帕里斯定律和微裂缝亚临界扩展导致的应变

对于振幅为的循环荷载（图1c），Paris（和Erdogan）（Paris

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