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连接岩体作为均质介质和有限元分析的弹塑性行为

摘 要

本论文提出了一种用来表述岩体的强度性质和弹塑性本构方程的3D综合构想。该方法是基于极限分析和弹塑性框架下的随机各向异性介质的均匀化的实现。首先给出宏观强度标准的严格闭合表达式作为岩石基体和关节的破坏条件的函数。作为实施这种均质标准的一个例子，提出了一个联合岩体中的地下画廊的稳定性分析，其尺度效应如果通过与直接计算得到的结果进行比较来研究接头数量相对较少。假设用于岩石基体和关节的弹塑性本构定律，使用微机械推理来整体行为的形成。宏观弹性刚度以及塑性标准和塑性流动规则是从各个构件的机械性能的知识中得出的。然后在F.E计算机代码中实现这种各向异性模型。由于宏观塑性流动规律的多潜力特征，数值分析特别侧重于塑性积分的迭代算法。并最终给出了关于岩体结构的数值模拟实例。

1、介绍

岩体的主要特征之一是在不同方向及尺寸上有非连续不同尺度的节理，基本上，接头术语对应于沿着小厚度的区域的岩石基体的机械性能的改变或降解。由于它们代表可以发生滑动的弱点的“表面”，岩石介质的整体行为受到关节的机械和水力特性的很大影响。因此，接合岩体结构的变形以及破坏模式主要由关节构成。后者的准确描述长期以来一直是岩石力学工程本构模型的一个基本特征。在这方面，通常采用两种补充方法：离散分析和连续分析。

在前一类分析中，通过分离接头界面将接合的岩体作为相互作用的岩石基质材料组合进行处理，实际上是处理这种情况的最直接的方法。在过去几十年中，已经开发了许多与这种不连续方法相关的面向设计的方法，如块理论[1-3]和广泛使用的特殊元素方法，源于Cundall以及联合作者。

由于这种分析是基于节理的明确建模，当岩体在工程问题的规模上高度联合时，通常会导致非常大和复杂的问题。因此，建议根据同质化的概念寻找替代方法。这包括将岩体作为具有相同材料性质的连续体处理，而隐含地考虑节理的影响。连续模型通常用于岩石力学中，因为它们避免了离散方法中可能遇到的困难。在早期阶段，这些模型主要致力于评估充分利用简化平均的节理岩体的等效弹性特性[7-10]，它们延伸到组成部分的非线性行为的范围是目前许多理论和计算研究的对象（见参考文献[11-18]）。Hoek-Brown提出的破坏准则已经以经验的方式部分地传达了同质化的概念[19，20]。

2、建模框架

令Omega;表示通过p组节理w_j（1le;jle;p） 的离散分布切割的均匀岩石矩阵的代表性基本体积（图1）。节理的基本几何假设为：

1. 接头理想化为平面；
2. 当与节理间距相比时，节理厚度可以忽略不计；
3. 节理足够长，且穿过r.e.v。

很明显在本分析中不需要节理的空间分布的周期性。

基本上，假设（c）意味着节理的延伸比所考虑的问题的特征长度长得多（例如隧道半径、基础尺寸等），在这方面，在这里开发的模型中没有处理具有间歇节理的岩体情况。

在r.e.v的尺度下（微观尺度），每个节理被建模为界面，由表面几何描述。给定的一组节理w_j方向被定义为正常的单位向量n^j。岩石矩阵填满了域Omega;/w，

此处的w=代表所有节理，（符号/代表设定的差异）。岩石矩阵中的位移，应变和应力场将被表示sect;、ε和sigma;。

施加到r.e.v的载荷由均匀应力型边界条件定义。

这里n是alpha;Omega;的单位外法向量，代表宏观的压力场。若压力场sigma;满足动量平衡方程（或者是守恒，方程就是后面这个sigma;=0,div sigma称作sigma;的散度），后面这个量是连续的，并且满足方程（1），则成这个压力场是静力容许的。 一个经典的推导给出对任意的静态容许的压力场，有以下平均律：

这里lt;.gt;这个记号表示在Omega;w上的体积平均

宏观应力 E 有下式定义

这里算子表示张量积的对称部分。方程4右边的第一项代表rock 矩阵对宏观应力的贡献，第二项则代表节理的贡献。

对节理岩石， 在均匀理论（或者是齐次理论）起重要作用的Hill引理取下面的形式：

现在让我们评论与岩石矩阵的均匀性有关的假设，这种均匀性意味着r.e.v（微观尺度）的尺度使得节理是连接岩石所考虑的唯一的异质性。这意味着这样的均匀性来自于先前的均匀化过程，这是为了考虑可能的微观异质性，与联合尺寸相比，其尺寸比微观尺寸小。因此，本分析中考虑的岩石基质的行为是由这样的初步均质化而产生的。为了制定岩石矩阵行为，考虑到在完整的岩石中存在微裂纹，许多工作都专门用于后一过程。为此，人们可以参考并引用[22-27]。在本文定义的r.e.v规模下遇到的同质性的对应物在于这样一个事实，即岩石基质的“本地”行为可以是各向异性的。这种可能的各向异性是由于存在于微小尺度上的微异质性的特征取向而产生的。

1. 节理岩石的强度特征

本节介绍了岩石的宏观强度特性的拟合了解其自身的强度成分及其在稳定性分析中的应用一个地下画廊。

3.1 宏观强度准则的制定

均匀岩石矩阵的强度条件由凸强度域描述，即那就是可容许应力状态。

3.2 地下综合管廊的稳定性分析

同性均质结构的连接岩石结构的稳定性分析[15,28]。作为一个说明性应用，我们研究了在接合岩体中挖掘的地下廊道的平面应变条件下的稳定性。拱廊具有直径为D的半圆形。围绕画廊的岩石矩阵由一组以倾斜度theta;为特征的平行关节穿过。 为了简单起见，假设接头以联合间距e（见图2a）规则地分布。 可以回顾，推导等式（9）和（9）显然不需要这种周期性假设（10），宏观强度标准不取决于关节间距的值。岩石材料的比重gamma;将构成系统的唯一载荷参数。关于成分的强度性质，岩石采用莫尔 - 库仑破坏条件矩阵和关节。参数c_m和（分别为c_j和）表示矩阵的内聚力和摩擦角。该问题的标准尺寸分析表明，结构的稳定性由无量纲因子决定。 更准确地说，超过该结构发生故障的临界值仅取决于theta;、、和。该因子的上限估计是通过极限分析的运动学方法，使用图2b所示均质结构的失效机理得出的。 这类故障机制由均质材料的两个平移块ABCDA和ECDE定义，并且取决于四个角参数：alpha;和（i=1、2、3）。 利用这一类故障机制实现上限运动学方法为结构稳定性提供了必要的条件，可以以形式正式写入（详细计算见[29]）：

通过使相对于alpha;和（i=1、2、3）最小化来获得最优上限估计。

对以下数据集进行了数值计算：=30°、=10°、=0。本研究的结果如图3所示。

通过绘制作为关节倾角theta;的函数的稳定因子估计值的变化。 如可以预期的那样，稳定性因子是关节取向的递减函数。 实际上，随着关节从水平方向移动到垂直方向theta;，这对应于载荷的方向，存在减小不稳定性。从理论的角度来看，均匀化方法仅适用于密集岩体的情况，这可能是考虑的问题按条件ele;D。为了评估如果关节数相对较低可能占优势的“尺度效应”，则将均匀化方法获得的结果与直接计算得到的结果进行比较，使用计算机代码UDEC（通用特征元素代码）在theta;= 45°下，将接合方向进行混合，已经执行了使用UDEC的一系列计算，其中将岩石基体和接头视为几何不同的成分，已被执行改变参数e = D。岩石矩阵以及关节被塑造成莫尔 - 库仑弹性塑料材料。通过解决逐步弹塑性问题直到达到结构的自由塑性流动来计算负载的极限值。相应的稳定因子估计已经相对于图4中的e/D作出。该图中绘制的虚线表示使用所描述的失效机制类别从均质化方法得到的上限估计在图2b中。 可以观察到，稳定性的数值预测因子e/D减少，并且倾向于比均匀化方法得到的估计值（~2.35）。 比较表明，一旦（~2.39），均匀化方法可以有利地代替直接方法，特别是在成本方面在CPU时间内，观察到e/Dle;0.1的直接和均匀化方法之间的差异可以被认为是“经典均匀化模型中没有考虑的”尺寸“或”尺度效应“。

1. 节理岩石的弹性性能

在本节中，我们研究了连接岩石的整体弹性性能的评估。隐含地假设，对于每个构件，构成物（即弹性域）内引起可逆应变的应力领域不会降低到theta;= 0 矩阵或T = 0。

我们首先介绍以下几个量：

4.1 宏观切线顺应张量

起点是连接的弹性行为岩石成分。岩石的本构方程弹性范围内的矩阵是以下类型

弹性行为的可能非线性可以通过对局部应力状态s^m的沉淀来表示，这可以说明微裂纹的存在比微观结构的尺度更小[26]。

同样，通过将应力矢量与位移跳跃有关的关系来表示组w_j的关节的弹性行为，

二阶张量s^j包含属于集合w_j的关节的切线柔度模量。 这个张量可以通过适当的实验测试来识别。在这种情况下，Goodman [30]或Bandisetal [31]的作品是最重要的。为了避免符号上的复杂性，s^m对sigma;和s^j的明确依赖 不需要时，在之后将省略T。宏观弹性行为的确定由r.e.v表示的弹性边界值问题的解决结果如下。

这意味着应力集中张量降低到四阶同一性：浓度规则是Reuss型。

如等式 （18）中，均质材料的弹性非线性是对于接合岩石的成分（或的各向异性）在微观尺度上引入的非线性的表达式。 另外，等式（18）强调，接合岩石的弹性各向异性可以由组分行为或联合取向的可能的各向异性产生。

使用纯粹的启发式考虑，一些作者（例如[9,13]）已经提出了一种类似的表达式，其中在限制框架内，线性弹性特别是假定为岩石矩阵和关节。实际上，本文献提供了 微观机械框架，用于等式的理由（18）将上述工作扩展到更一般的情况。

4.2 一个说明性的例子

考虑到由单个平行接头系列切割的岩石矩阵，由存在接头引起的弹性非线性和各向异性被假定为以等于e的平均间隔分布（图5a）。 本节省略了上标j。

采用古典本构关系对弹性范围内关节的行为进行建模。

观察到该比例的急剧下降，因为负载取向远离平行于接合面的方向theta;= 0，这表示均匀化介质的强弹性各向异性。 在正常压缩下，关节的非线性弹性定律是通过在关节的法线方向附近的Sigma;₀的（轻微）依赖性在宏观尺度上表示的。

4.3 评价

本文考虑的问题是相交关节之间的相互作用及其对接合岩体弹性的影响。 均匀弹性行为的主要特征之一是由式 （18）在于宏观切线合规是单独考虑的每个联合的各个贡献的总和。 换句话说，在建模中没有考虑相交关节之间的相互作用。

通过考虑由两系列垂直平面接头切割的岩石矩阵，可以清楚地了解这种相互作用。

当第一系列的接头承受剪切载荷时，预期它们的切向位移在某种意义上是不自由的，这可以通过第二系列的垂直接头的存在来约束。 因此，关节的变形会导致垂直接头变形。主要问题是：这样的相互作用是否显着影响均质介质的整体弹性？关于这个问题，有以下几点需要提及：

从理论上来看，这种相互作用的模型仍然是一个悬而未决的问题

这种相互作用对接合岩体的总体弹性的影响证明难以在其中将接头建模为界面（即，没有厚度）的机械框架中处理。

合适的方法应该包括将关节模拟成相对于关节间距具有非常小的厚度的3D层，并且认为关节正在经受有限应变[17]。 后者的工作提供了一个简化的框架，可以构成综合建模的基础。

如[17]所强调的，经典实验的实验室测试导出单个关节的行为不足以评估交叉关节之间的相互作用。

最后，对上述问题的回应显然将取决于联合材料的性质。

记住，关于交叉关节之间的相互作用问题的反应仍然是给出的，我们在后续表达式（18）中采用了

1. 弹塑性本构方程

1. 有限元实现

这里

6.1 到宏观弹性域的投影

重复上述过程直到系统（42）的拉格朗日乘子全部为正，因此为了评估投影，使用（44）。 该迭代过程已经在为有限元分析的二维有限元代码中进行了分析。 第6.2.1节中处理并呈现的数值示例证明了该技术作为塑性积分算法的一个组成部分的良好性能。 然而，当载荷在岩体内引起高水平屈服时，会出现收敛困难。 这显然强调需要改进程序。

6.2 例子

为了说明弹塑性均匀化方法及其F.E.实现，下面给出两个应用实例。

6.2.1 深层隧道收敛的平面应变分析

正在考虑的问题是一个圆形隧道，在最初被提交到具有的流体静力应力场的规则连接岩体中的深度H处挖掘，其中g是岩体的比重。 隧道半径R与深度H之间的比例足够小，以致隧道附近的重力作用可以被忽略。

关于联合系统，考虑了两种情况：包含一个倾角为0°的一个联合组的岩体的情况; 和由倾角为0°的两个联合组切割的岩体块 和90°在这两种情况下，通过施加在隧道壁处的围压P_C来定义装载。 通过改变p_c在p₀和零之间的值来模拟挖掘对周围地面运动的影响。

岩石矩阵被认

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