数学教学中数学史运用分类的“为何”与“何为”

原文作者 Uffe Thomas Jankvist

摘要：这是一篇理论性的文章，文中提出了关于在数学教学中为何和如何使用数学史的讨论，以及关于使用数学史的论点和方法之间的相互关系。该文的研究方法是提出两组类别，对使用历史的论据（“为何”）和进行此操作的不同方法（“何为”）进行分类。数学史的使用原因分为两类：历史工具论和历史目标论。使用历史的方法分为三类：历史启发法、历史单元化和历史参照法。这些分类法连同对使用历史的动机的讨论，是一种涉及数学的内在问题（内部问题）或元视角问题（元问题）的方法，提供了一种有序讨论“为何”和“何为”的途径。

关键词：数学教育与数学史；如何与何为 ；历史工具论；历史目标论；历史必要性；内部问题与元问题；历史启发法；历史单元法；历史参照法；遗传原理

1引言

在阅读有关在数学教育中使用数学史的文献时，人们会遇到各种各样的关于为何使用数学史的争论，以及关于如何使用它的各种观点，我分别称之为“为何”和“何为”。然而不幸的是，这些的文献似乎揭示了研究者在研究讨论这些“为何“和“何为”时的模糊不清。这可能与参与研究、解决这个问题的人员（如数学家、历史学家、教育工作者等）有不同工作类型有关，每个人都有自己的议程计划、知识背景和思维风格。此外，每个研究人员在处理有一定水平的教育问题时，可能会受到某一国家或地区教育当局的限制。这并非有什么错误；相反，为了拓宽数学史在教学中的应用范围，收集关于这一课题的现有成果，我们非常需要这样的工作。然而，从普世和理论的角度来看，这些工作并不一定涉及我们讨论中的核心问题。幸运的是，这些文献还提供了一些新颖的方法来分类”为何“和”何为“（例如，Tzanakisamp;Arcavi，2000；Tzanakisamp;Thomaidis，2000；Gulikersamp;Blom，2001；Fried，2001；Furinghetti，2004；Tang，2007）。当然，任何分类法都有它的优点和缺点，新的分类法也不能避免。

在笔者看来，现有分类法的一个缺点是：它们在分类过程中并未严格地把”为何分类法“和“何为分类法”区分开。有人可能会说，这是因为”为何“和”何为“是联系在一起的，但这可能并非是一种直接的联系关系，甚至并非自然。原则上，“何为”通常会被限定或预设一个“为何”。然而，我的主张是尝试着将“何为”的分类与“何为“的分类严格区分开，以获得新的见解，使“何为”和“何为“之间的相互关系变得更清晰。除了提供清晰明确的思维框架之外，了解“为何”和“何为”之间的相互联系可以使分析教材并应用数学史变得更容易。例如，可以以此来看它是否满足某些要求或目标。我猜想这些知识为作为材料设计师的教师就数学史的使用选择内容、表现方法和组织形式的提供了一定的帮助。不管怎么说，在教学中使用数学史的原因和方式之间的相互关系在文献中是较少被提及的。因此，在我看来，在进行关于教学中使用数学史的研究讨论之前，应尝试着建立另一个系统，即创造一个新的平台，人们可以从中深入讨论数学史在数学教育中的潜在作用。

1.1研究问题与研究方法

笔者认为如果研究者对数学史在数学教学中的使用方法、它的优缺点、可能性、局限性、观点等感兴趣，那么就有必要把这些兴趣放在一个系统的、有组织的基础上。

1、为什么数学史可以/应该用于数学的教与学；

2、数学史如何可以/应该用于数学的教与学；

3、使用数学史的论点和使用数学史的方法，即为何和何为，在哪些方面是相互关联的。

这三个问题正是本文的重点。回答这些问题的方法是提出两组（新的）类别，在此基础上可以梳理不同使用原因和使用方式之间的相互关系。这两种分类它们不是绝对的，也不是特定的。它们有一个共同的目的：为分析数学教育中数学史的具体用途创造必要条件，即如何具体实施使用（例如，见Jankvist，2007b，2008）。此外，还应指出，现有分类法并未区分出在教室、教科书和其他包括教师培训在内的不同教育水平上使用数学史的情况的不同，这些情况都是进行综合考虑的。

笔者为了研究数学史在教学过程中使用而提出的原因和方式的建议类别，阅读参考了以下研究者编辑的样本：Swetz、Fauvel、Bekken、Johansson和Katz（1995）；Jahnke、Knoche和Otte（1996）；Calinger（1996）；Katz（2000）；由Fauvel和Van Maanen（2000）编辑的国际数学教学委员会（ICMI）研究，以及来自各种期刊的相关文献，包括数学教育史专题和会议记录（例如，最近修订的数学教育史会议记录（HPM2004）和ESU4）。此外，我们对在过去10年（1998-2007年）中发表在数学教育研究（ESM）、数学教育研究杂志（JRME）、数学学习杂志（FLM）和Zentralblatt Fuuml;r Didaktik der Mathematik（ZDM）的文献进行了搜索，以证明分类的合理性。在ESM中，在这10年的时间里发现了27篇关于数学史和在数学教育中使用数学史的论文，其中20篇与本文讨论的问题相关。在JRME、FLM和ZDM中，找到的论文数分别为1（零相关）、4（一相关）和0。然而，没有一篇论文讨论了ICMC研究中尚未涉及的论点或方法，ICMC研究是关于这一主题的最全面和统一的单一出版物。因此，本文提出的“为何”和“何为”的分类将主要通过ICMC研究加以例证。

关于原因，笔者也将很快谈到论点的必要性。在“何为“的例子中，将特别注意所谓的遗传原理。在讨论了“为何”和“何为“以及它们之间的相互关系之后，我将转向对在数学教育中使用历史的缺点进行论述（包括为何和何为），并论述它们与所提出的分类类别之间的关系。

2两类论点

一般来说，现有研究关于使用数学史原因的观点有两种：一种认为数学史是一样帮助数学学习和教学的工具，另一种认为数学史本身就是一个教学目标（Jankvist，2007a，第72-76页）。这两种类型都已经构成了自己的论据体系。

2.1以历史为工具的论点

历史作为工具论的范畴包含关于学生如何学习数学的论据。这里的一个典型论点是：历史可以成为学生学习和学习数学的激励因素。例如，帮助维持学生对该学科的兴趣和兴奋（例如，Farmaki amp;Paschos，2007年，第84页；Taimina，2004年，第88页；Tattersa llamp;McMurran，2004年，第101页）。或者说，融入历史的方法会让数学更人性化，也会让它不那么可怕（Russ，1991，第7页）。过去数学家在数学发展上遇到的挫折，也会给今天学习数学的学生带来同样的麻烦（例如，Bakkeramp;Gravemeijer，2006年，第149页；Bartolini Bussiamp;Bazzini，2003年，第206页；Fauvel，1991年，第4页；Tza nakisamp;Thomaidis，2000年，第49页），这一事实可以让学生从中获得安慰感；他们现在难以掌握的数学概念，实际上在数百年的历程中，需要数位伟大数学家努力使这一概念形成其最终形式（例如，Bakker amp; Gravemeijer，2006年，第165页）。

除了这些动机和情感上的影响之外，数学史在支持数学教学的现实学习方面也可能发挥认知工具的作用。例如，有一种观点认为数学史可以通过提供不同的观点或呈现方式来改进学习和教学（例如，Helfgott，2004年，第161页；Jahnke，2001年，第195页；Kleiner，2001年，第143页）。还有其他观点认为，历史现象学可以为教师假设的学生未来学习轨迹的发展做铺垫，或者说历史“可以帮助我们透过学生的眼睛看问题”（贝克2004，第51、87页）。

正如Bachelard（1938）所介绍的，历史作为一种有着特殊用途的认知工具出现在认知逻辑障碍的识别过程中。Brousseau （1997年，第87页）在将认识障碍的概念纳入他的教学情境理论时解释说：“因为它们在所寻求的知识中的形成作用，真正的认知障碍的根源是无法逃避的，而它们可以在概念本身形成的历史中找到。由于“某些学生的学习困难可以围绕历史进程中所证明的障碍进行分组”（Brou sseau，1997，第96页），历史不仅有助于识别这些障碍，而且也有助于克服这些障碍。数学史可以通过提供基本的线索来丰富教学分析过程，这些线索可以帮助教师具体定义要教授的知识的性质，并探索获得这些知识的多样途径”（Dorier and Rodgers in Fauvel amp;van Maanen，2000，第169页；另见Schubring，1988，第141-143页；Sierpinska，1994，第125-137页；Radford，1997年，第29-32页，2000年a，第162-163页；Radfordamp;Puig，2007年，第147-148页；Katzamp;Barton，2007年，第198-200页）。Brousseau的一个重要观点是：在教学中使用数学史之前对其应该加以修饰，他的思想是借鉴历史上的所出现的史实，并从中选择适合学校使用的数学概念的起源历史，并通过在课堂是提供数学史，来构建“发现式”的教学情境（Brousseau，1997年，第96页）。

最后一种非常独特的将历史作为工具的观点可以称之为进化论，因为它们声称没有数学史就没有数学学习。最清晰明确的进化论据是所谓的概括论论据，即“以个体发生来概括系统发生”。根据Furinghet ti（2004年，第5页）的说法，个体发生和系统发生的联系这一理论是由德国生物学家和自然哲学家Ernst Haeckel于1874年提出的，被称为“基本的生物法则”（Haeckel，1906年，第2-3页）。Haeckel进一步发展了这一思想，认为“儿童的心理发展只是系统进化的简短重复”（Furinghettiamp;Radford，2002，第634页）。这一论点转化为：要真正学习和掌握数学，一个人的思维必须经历数学在历史发展进程中所经历的相同过程。该论点不仅适用于整个数学学科，而且也适用于单一的数学概念和理论。与单一数学概念的发展相关的通常是另一种与进化类型相关的工具论证，即所谓的历史平行性，其涉及观察历史上出现的困难和障碍并将在课堂上重现（例如，Harpe r，1987年；Sfard，1995年；Zormbalaamp;Tzanakis，2004年；Thomaidisamp;T zanakis,2007年；Farmakiamp;Paschos，2007年；Tzanakisamp;Kourkoulos，2007年）。平行性的概念也可以作为数学教育中提出假设或启发式教学法的方法论（例如，Fauvelamp;van Maanen，2000年，第160页；Vasco，1995年，第61-63页）。

2.2以数学史本身为目标的论点

将历史本身作为教学目标这一论点的范畴包含了学习数学史本身就有目的的论点。我们必须注意的是，当把历史本身作为一个目标时，不能误认为数学史知识是一个独立的主题，即为了数学史的数学史。相反，重点是将数学史视为数学学科发展中的前瞻性部分。

在此意义上，一般认为数学史是为了向学生展示数学在时间和空间上的存在和发展（例如，Tzanakis amp; Thomaidis,2000，第46页；Barabash amp; Guberman-Glebov，2004，第75页）；它是一门历经了历史发展而非突然出现的的学科（例如，Niss amp; Jensen,2002，第268页；Philippouamp;Christou，1998年，第193页）；人类参与了这一发展过程（例如Gulikersamp;Blo m，2001年，第229页；Thomaidisamp;Tzanakis，2007年，第181页）；数学在历史进程中借助了许多不同的文化进行发展，这些文化对数学概念的形成产生了影响，反之亦然（如Tzana kis amp;Thomaidis，2000年，第46页；Barabashamp;Guberman-Glebov，2004年，第85页；Hoslash;yrup，2007年，第260页），或者说数学发展是由内部和外部力量驱动的（如Fried，2001年，第392页；Charette，2004年，第121页）。

从以历史本身为目标的观点来看，了解数学史并不是为了更好地、更彻底地学习数学的主要工具，尽管这一影响仍是（积极的）副产品。在以历史为目标的情况下，学习数学发展和变革方面的知识要么其本身就是一个目标，要么就是为了论述说明数学学科的其他方面的知识。

2.3元问题和数学问题

另一种以历史为目标的论点是：数学史是学习数学的元方面或元问题，即是从元的角度看整个数学学科的问题。笔者建议对此类元问题进行研究的问题示例如下：

数学是如何随着时间发展的？变革过程中可能存在哪些力量和机制？社会和文化环境在这一演变中起作用吗？如果是，怎么做？那么，数学是否取决于文化和社会、地点和时间而变化？旧数学是过时的数学吗？（NISS，2001a，第10页）

与以历史为目标的观点涉及数学的元问题不同，以历史为工具的观点涉及数学的内部问题。笔者思考与数学内部有关的问题——数学概念、理论、学科、方法等。例如，学习数字集（n，z，q，r，c），它们的相互关系、基数等，这常常被认为是一门研究问题的学科。另一方面，学习不同种类的数的历史发展进程，以及难以理解的无理数、负数和复数，这会关系到数学元问题的各个方面。

数学内部问题和数学元问题的区别与Davis和Hersh（1981）之间观点的区别有些许共同性，后

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A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

Uffe Thomas Jankvist

Published online: 21 January 2009
copy; Springer Science Business Media B.V. 2009

Abstract This is a theoretical article proposing a way of organizing and structuring the discussion of why and how to use the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, as well as the interrelations between the arguments for using history and the approaches to doing so. The way of going about this is to propose two sets of categories in which to place the arguments for using history (the “whys”) and the different approaches to doing this (the “hows”). The arguments for using history are divided into two categories; history as a tool and history as a goal. The ways of using history are placed into three categories of approaches: the illumination, the modules, and the history-based approaches. This categorization, along with a discussion of the motivation for using history being one concerned with either the inner issues (in-issues) or the metaperspective issues (meta-issues) of mathematics, provides a means of ordering the discussion of “whys” and “hows.”

Keywords Using history in mathematics education · Whys and hows · History as a tool, history as a goal · Indispensability of arguments · In-issues and meta-issues · Illumination, modules, and history-based approaches · Genetic principle

1 Introduction

When reading the literature on using the history of mathematics in mathematics edu- cation, one comes across various arguments in favor of why it may be a good idea and various ideas on how to do it, what I shall refer to as the whys and hows respectively. Unfortunately, such a reading of the literature seems to reveal some blurring in the discussion of these whys and hows. Part of the explanation of this may have to do with the issues being tackled by many different kinds of researchers (mathematicians, historians, educators, etc.), each having their own agenda, background, and style. Also, each researcher is often dealing with a certain level of education, perhaps subject to restrictions imposed by the educational authorities in a given country or geographical region. Not that there is anything wrong with this; on the contrary, such work is much needed in order to broaden the picture of applying history in teaching, and to disseminate the information already available on the topic. However, from a general and theoretical viewpoint, such work does not necessarily address the core issues that are at stake in the discussion. Fortunately, then, the literature also offers some interesting attempts at categorizing the whys and/or the hows (e.g., Tzanakis amp; Arcavi, 2000; Tzanakis amp; Thomaidis, 2000; Gulikers amp; Blom, 2001; Fried, 2001; Furinghetti, 2004; Tang, 2007). Any categorization, of course, has its advantages and disadvantages, and so do these—and so will a new one.

One disadvantage of the classifications available, as I see it, is that they do not all necessarily separate, strictly, the categorizations of the hows from the categorization of the whys. One could argue that this is because the whys and hows may be so interconnected that it is not a very straightforward, or maybe even a natural, thing to do. In principle, a “how” often conditions or presupposes a “why.” Nevertheless, it is my claim that, by trying to strictly separate the categorizations of the whys from the categorizations of the hows, new insight may be gained, and the interrelations between the whys and the hows may become clearer. Besides providing intellectual clarity, knowing about the interconnections between the whys and hows can make it easier to analyze teaching material applying history in order, for instance, to see if it fulfills certain requirements or goals. Such knowledge would also, I suspect, be useful when making decisions about content, form of presentation, and organization concerning the use of history for teachers as well as material designers. At any rate, the interrelations of the whys and hows of using history is not something that is discussed very often in the literature. It therefore seems to me that the discussion on using history would benefit from yet another—systematic—attempt at creating a new platform from which one may discuss, in depth, the potential role of the history of mathematics in mathematics education.

1.1 Research questions and research method

I believe that if you are interested in the use of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, its advantages, disadvantages, possibilities, limitations, ideas, etc., then it is worthwhile basing this interest on a systematic and organized foundation in terms of

1. 2. 3.

Why history may/should be used in the teaching and learning of mathematics; How history may/should be used in the teaching and learning of mathematics; In what ways the arguments for using history and the approaches to doing so, i.e., the whys and hows, are interrelated.

These three questions are exactly the foci of this article. The way to answer them is by proposing two (new) sets of categories on the basis of which the interrelations between the different whys and hows can be dealt with. Regarding these two categorizations, it is important to bear in mind that they are not absolute, nor are they meant to be. They serve a certain purpose: to create the requisites for analyzing concrete uses of history within mathematics education, i.e., specific implementations of hows (see, for instance, Jankvist, 2007b, 2008). Also, it should be mentioned that the categorizations do not distinguish between the use of history in classrooms, in textbooks, and at different levels of education, including teacher training. These are all considered colle

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