关于几何证明文本的阅读理解研究

Kai-Lin Yang amp; Fou-Lai Lin

摘要：本研究旨在研究一种几何证明阅读理解（RCGP）的结构。该研究旨在调查（a）组成RCGP的方面，以及（b）这些方面的结构。首先，基于对论点的逻辑意义和认知意义的区分，我们将相关构想概念化，然后从文献中组合RCGP的内容，并提出RCGP的假设模型。其次，收集数学家和数学老师阅读数学文本材料的相关策略，以丰富RCGP的内容。最后使用多维缩放方法，通过学生在RCGP方面的表现来证明阅读理解模型构建的合理性。结果表明，该概念化模型可以表征RCGP的结构。

关键词：几何证明； 阅读理解

1引言

1.1在几何证明学习中仍未强调阅读理解

在中学数学课上，几何证明教学的相关策略包括听，说，写和做。但经过仔细观察发现，这些活动在被老师和学生应用时仍然有其局限性。例如，听和说应该促进数学中的论证（Balacheff，1991），但是在某些情况下，如果教师忽略了数学严谨性和学生直觉之间的差距，那么听和说的“主观性”可能会变得荒谬至极（Harel和Sowder，1998；Sfard2000）。学生在传统情况下学习证明（Lin和Tsao，1999；Stigler等，1999）似乎可以很好执行；如果他们给熟悉的举证条件（Heinze等人，2004），似乎在区分参数的有效性表现不佳，表现出象征性的或经验的形式（Lin等人，2004）。这些结果表明，如果书面证明的活动主要着重于如何复制和重复证明，那么学生将错误地认为数学答案的形式比其含义更重要。进行证明活动，例如推测和证明，旨在让学生操纵几何图形的物理模型，进行可视化并观察图形属性之间或之内的关系。但是专注于可视化的学生可能会误以为“眼见为实”或“猜想就是验证”，因为前提和结论通常是隐含的，在做证明的过程中，构造总是会超越验证（Schoenfeld，1994）。

每个活动的局限性表明，这些活动之间必须有一个整体的协调，并且不应将阅读理解排除在协调的学习证明方法之外。尽管先前的一些研究认为阅读理解是产生、评估或解释论证过程中的一个组成部分（Lin等，2002，J.Selden和A.Selden，2003），但它通常不被认为是阅读的对象研究。

1.2为了理解而阅读

理解一直是数学教育中的主要问题（Fennema和Romberg，1999）。为了研究对证明的理解，一些研究人员探索了学生的证明过程（Harel和Sowder，1998；Housman和Porter，2003）或调查了学生对证明的理解（Healy和Hoyles，2000）。但是，文献仍然缺乏关于学生或教师应从正式和全面的角度理解证据程度的讨论。数学理解既是语言学又是概念学（Vergnaud，1998），而阅读理解是数学教育中的一个相关问题。虽然证明被视为一种数学文本类型（Pimm和Wagner，2003），一种获取对证明的理解的方法是通过阅读理解的方法。

关于证明的有效性研究与关于阅读理解的研究紧密相关，但是存在一些相关差异（Fawcett，1938）。J. Selden和A. Selden（1995）使用验证一词来描述一个过程，在该过程中，个人确定证明是否正确，并实际证明它声称要证明的特定定理。相比之下，阅读证明的理解意味着除了知道证明可以证明什么之外，还要从如何运行以及证明为什么正确的基本要素中了解证明。阅读证明的过程和由此产生的理解力很难观察到，因为并非所有人都有意识。一些理解发生在潜意识层面。

在某种程度上，对证明的理解可以看作是一个从“主观”到“客观”的连续过程，但是即使在数学教育者，教师和数学家之间，对于“客观”的含义仍然存在着各种各样的看法（Balacheff，2002；Thurston，1995）。为了从阅读理解的角度进一步验证元素在这样一个连续的理解证明中的功能，本研究旨在（a）确定哪些方面构成了几何证明的阅读理解（RCGP），并且（b）探索这些方面的结构9年级和10年级的学生，而不是分析RCGP的过程或方法。几何证明在本研究中被有选择地使用，因为它的性质与代数证明不同，它鼓励学生区分看见（具体的数字）和推论结果（抽象的形式）。

2将几何证明的阅读理解概念化

RCGP的该构建体将与相关文献（其丰富RCGP的内容）和在逻辑认知的含义之间区分的基础上被概念化（杜瓦尔，2002）。在这里，逻辑是指“对一个人知道的东西的验证”，而认知是指“一个人所知道的东西”。

2.1几何证明阅读理解的内容

有关证据性质，证据验证和证据概念的文献是寻找相关RCGP文献的三个关键主题。从Duval（1998，2002），Fawcett（1938），Healy和Hoyles（2000），Lakatos（1976），Selden 和Selden（1995，2003）列举如下。应该注意的是，该列表只是RCGP内容的初始集合，并不旨在全面。

＃1 知道本证明中术语、符号或图形的含义。

＃2 将证明的陈述识别为定义、前提、适用的属性或结论。

＃3 根据演绎规则检查每个步骤。

＃4 将这个问题的陈述确定为条件或要求的结论。

＃5 寻找证明的关键思想。

＃6 判断此证明的有效性。

＃7 判断这个命题的真相。

＃8 判断这个命题的普遍性。

＃9 发现此证据与预期证据之间存在冲突。

＃10 修改这个主张。

＃11 对某些陈述给出合理的解释。

内容编号1、2和3是杜瓦尔的工作引出的。杜瓦尔认为，陈述的操作状态（假设、定义、定理）和陈述的含义（逻辑或认知值）会使理解和评估证据变得非常复杂。内容编号 1、2、3、4、5、6和7是从Fawcett（1938）建议的理解演示几何的几个特征中捕获的。Healy和Hoyles（2000）研究了学生如何判断一个命题的真相。7，其证明的一般性。8，有不同的模式。6，数学发展史中的证明和反驳的互动过程（Lakatos，1976）表明证据与预期证据之间存在冲突，9，对于一个命题的重构是不可避免的。10，Selden和Selden的研究（1995，2003）关于大学生如何验证数学陈述和证明的内容包含在编号3、4、5、6、7和11。

2.2几何证明阅读理解的假设模型

另一种强调使用一组运算符修改预信息的表示形式（Tabachneck-Schijf和Simon，1996）被用来说明理解的循环过程。归纳、演绎和三段论的三种推理方式被指定为运算符，读者通过将新信息集成到预先信息中来理解文本，并且通过信息，推论方式和新信息来呈现理解的循环过程，如图1所示。个人在阅读文本时产生的心理表征被视为初始信息的一部分，可以迭代地更改为新信息。

图1一个循环过程

这种表示法产生了三个关键组成部分，即推理方式，信息状态和信息量。我们将争辩说，应该搁置推论方式来构建理解几何证明的假设模型。先前的研究集中在三种推理方式上，即归纳，演绎和三段论。已经研究了演绎推理和归纳推理下的许多规则（Evans等，1993； Holland等，1986），但是仍然很难准确地识别出什么样的三段论推理工作（Fischbein，1996；Simon，1996）。

三段论推理的功能是为受试者提供新颖的假设或解释，以解释令人惊讶的事实或现象（Cifarelli，2000；Fann，1970）。例如，即使他/她没有学习数学归纳原理，即使不合逻辑，也可以尝试说服自己，为什么对所有自然数都可以通过数学归纳证明得到验证。Ho（1994）表示，对于探索性数据分析，三段论推理的作用是探索数据，寻找模式并提出合理的假设，而演绎的作用是基于其他合理的前提来检验假设，归纳的作用是通过经验定律证实定量细节。尽管假定需要推理才能将整个证明分为几部分，以组织证明思想或将此结论扩展到RCGP的演绎和归纳之外的其他问题情况。在这方面，应搁置以推论方式建立RCGP模型。

由于本研究关注的是结果而不是RCGP的过程，因此处理信息的状态和数量对于表征RCGP有利，并且可以嵌入到循环的理解过程中。通过这些推论方法可以验证陈述的执行状态（假设、定义、定理），这也使理解和评估证据变得非常复杂（Duval 1998）。前提/条件，属性和结论之间的关系都是论点的要素，它们被用来分析信息的状态。在数学证明中，自变量或陈述的含义取决于其逻辑值以及其逻辑值与认知值之间的联系（Duval 2002）。例如，学生知道等腰三角形中的两个底角是相等的（理论值），而不必证明它的必要性（逻辑值）。已采用这种区别来构造RCGP的各个方面。信息的不同价值的思想是区分证据与论证或解释的重要因素（Blair和Johnson，1987；Duval，1999）。

另一方面，组织几何信息的微观，局部和全局层次（Duval 1998）为捕获处理后的信息量奠定了基础。组织证明步骤的三个层次分别是理论上将一个步骤，几个步骤和所有步骤链接在一起。随着三个级别的顺序展开，处理的信息量也在增加。在组织证明步骤之前，需要从认知价值上理解术语或标志。在链接一个或多个证明步骤时，重点是语句的逻辑状态。从整体上看所有证明步骤，必须正确地运用和创造性地扩展陈述的逻辑和认知状态。因此，该假设模型由四个层次组成：对表面的理解（认知价值），对识别元素的理解（微观层次，逻辑价值）。

为了描述此初始模型的特征，将练习阅读命题及其证明的上下文。基本层次的特征是认知理解，而无需分析证明中的论证要素。有关该命题及其证明的信息归类为概念性知识或过程性知识，分别专门表示数学术语，符号或图形的含义以及几何度量的计算。第二层次的特征是对前提、结论或属性的认识，这些前提、结论或属性可能隐含在此证明中。第三层次的特征是在逻辑上链接该证明中的前提、结论和属性，并将数字视为参考对象，这对于逻辑地链接参数是必需的。最高级别的特征是将这一命题及其证明作为一个整体进行内部化，在此人可以应用该命题及其证明，并从相似的命题中区分出不同的前提。另一方面，对表面的理解，识别元素（件），链接元素（关系）和封装（系统）与几何思维的视觉、描述、关系和形式演绎水平在表面上是一致的（van Hiele，1986）。但是，范·海耶尔理论中的水平特征不一定是该假设模型所固有的。也就是说，我们不假设必须先掌握第一个，然后才能进行下一个。如图 2所示，该RCGP的假设模型将用于在RCGP上构造。

图2 理解几何证明的假设模型

3材料与方法

在从相关文献中对RCGP进行概念化之后，提出了RCGP的一些内容和假设模型。为了丰富RCGP的内容，还考虑了对数学家和数学老师的访谈。制定RCGP方面的方法是通过适应阅读理解的各个阶段来组织这些内容：文字和语义理解，推论理解和监控理解（Gagneacute;等，1993； Mayer，1987）。为了检查RCGP各个方面的完整性，将它们映射到Bloom的认知分类法中（Bloom等，1981），该分类法可以涵盖不同层次的思维。

下一个目标是构建这些方面。这些方面使用假设模型进行主观构造，然后通过多维缩放方法，通过学生在RCGP方面的表现来证明其合理性。为了量化学生在RCGP中的表现，将根据初中学生的背景在操作上定义各个方面，以开发评估RCGP的工具。总而言之，我们针对两个研究问题的研究方法的过程类似于建模，即将情境信息概念化，转换为操作条件，解决问题然后解释情况的结果。

对五名数学家（数论领域中的两名，分析学家的一名，统计学中的一名，几何学中的一名）和四名数学教师（初中三名，高中三名）进行了半结构化访谈。访谈数据被解释为证实RCGP内容的一步。面试题是根据受访者的实践活动设计的：（1）进行数学研究（2）进行数学证明。提出了几个问题：（1）考虑您的数学学习或学习经验：（1-1）您什么时候需要阅读数学证明，阅读的目的是什么？例如，阅读自己的工作论文的目的是什么，或在审查论文或教科书时？（1-2）在阅读的前、中、后，您将使用哪些阅读策略？（2）考虑您的数学教学经验：（2-1）为学生提供学习证明的目的是什么？（2–2）哪些活动有助于学习阅读数学证明？

实际上，也采访了一些学习几何证明的高中生。他们被要求阅读教科书中由矛盾证明的命题和由数学归纳证明的命题，并被要求以下内容：（1）该证明告诉我们什么？（2）此证明适用于哪些属性？（3）该证明使用的证明方法是什么？（4）在阅读此证明前、中、后，您有什么想法或想法？（5）您还可以从这个证明中得到什么？尽管学生对这些问题的回答值得进一步分析，但他们的回答并未揭示有关RCGP内容的更多信息。这可能是由于谈论阅读证明比阅读证明需要更高的思维水平。因此，本文不计算学生的回应。在解释了访谈数据之后，将与两位数学家和两位数学老师重新讨论受访者的回答描述，以修改和阐述他们的想法。

为了适应阅读理解的各个阶段：文字和语义理解，推论理解和监控理解，RCGP的内容分为六个方面：基本知识，逻辑状态，整合或总结，普遍性，应用或扩展以及欣赏或评估。由于鉴赏或评估的最后一个方面倾向于与个人或社区价值交织在一起的主观判断，因此仅在初中方面是根据初中学生对工具开发的预先知识来定义的。

基本知识的一个方面是衡量对数学术语，图形或符号的理解。逻辑状态的一个方面是衡量对论点状态的认可，这可以是前提，结论或证明中的应用属性。总结的一个方面是衡量对给定，要求或关键

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

英语原文共 19 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[271813]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word