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具有不确定成本和随机供应的运输问题

摘 要

运输问题是一个优化问题。在一般情况下，它是在随机或不确定条件下进行研究。考虑到最近的复杂性，只基于此，这是不够的使其成为一个完美的运输计划。通常，在许多系统中不仅存在不确定性，而且具有随机性。本文的目的是在不确定和随机环境下研究运输问题。结果，为了这个问题提出了一个概念上的不确定性随机模型，其中的供应被认为是随机变量，成本和需求是不确定的变量。通过最大限度地减少不确定目标函数的期望值和对约束的置信度，主要目的是

将模型转化为一个清晰的数学形式。通过最大限度地减少不确定目标函数的期望值和对约束的置信度，可以将上述模型转化为数学形式。然后利用不确定性理论和概率论将模型转化为一个典型的数学规划模型。最后，给出一个算例，说明了模型的可行性。

关键词：运输问题，不确定性理论，不确定规划，不确定随机变量

第1章 引言

近年来，随着经济全球化的发展，由越来越多的企业关注货物运输的问题，特别是许多跨国公司。运输问题是一个优化问题，目的在于通过从几个来源地到目的地的最佳分布以减少总成本。在一般情况下，传统的交通运输模式包括一个目标函数和两种约束，即源约束和目标约束。它是Hitchcock提出的，随后由 Koopmans 得到发展。四年后， Dantzig 提出了单纯形法，并将其应用于交通运输模型的求解。之后，许多研究人员对运输问题进行了研究。Srinivasan和 Thompson 提出了一种交通问题的参数规划算子理论。1991年，vignaux和Michalewicz给出了线性运输问题的遗传算法。在这些经典模型中，单位运输成本，供应量和需求量应该是明确值。

在现实世界中，考虑到不同的复杂性，一些研究人员意识到一个事实，即

总是认为单位运输成本、供应量和需求量是明确值是不恰当的。它们应该被视为变量。因此，Williams假设它们是随机变量，建立一个随机模型以求解这种运输问题。此后，随后的研究者开始研究随机运输问题。1995年，Wilson提出了一个平均成本逼近法以解决这种模型。同年，Holmberg提出了有效的分解和线性化方法为随机运输问题。

随着研究的发展，一些研究人员发现，可在许多情况下，没有调查的数据是可用来估计概率分布的。例如，当决策者遇到来自陌生城市的新的合作伙伴，作为参数的统计数据如运输问题中的单位运输成本，这是不可能的去获得的。应用概率论的一个基本前提是估计概率分布非常接近长期累积频率。换句话说，概率论在没有足够的观测数据的情况下不受影响。因此他们别无选择，除了邀请一些领域专家来评估上述参数。因此，为了处理人的不确定性，不确定性理论是刘教授在2007年提出，在2010年改进的，这些都基于正态性、对偶性，可加性和产品的公理。现在，不确定理论已成为公理化数学关于模型的信任度方面的一个分支。首先，刘教授在2007年和2009年介绍了不确定测度方法为满足正态性公理，对偶性公理，可加性公理和产品公理。现在不确定测度方法已经成为解决不确定理论的信任度的一种强有力的工具。其次，作为不确定理论的基本概念，不确定变量由刘教授在2007年提出以表示不确定性的数量。事实上，在许多实际情况下准确地描述一个不确定变量是非常困难的。因此不确定性分布被刘教授在2007年提出。通常只要给出不确定分布，许多性质的不确定变量就很容易得到。最后，由刘教授在2010年建立了操作法以计算不确定性分布和严格单调函数的独立不确定变量的逆向不确定性分布。作为一个重要的贡献，刘教授和哈教授在2010年提出了一个用于计算严格单调函数的独立不确定变量的期望值的有用公式。迄今为止，不确定理论已经完全成为一个数学系统。

不确定规划由刘教授在2009年提出建立。自那时以来，它被许多研究人员广泛应用于解决不确定的问题。盛教授和姚教授在2012年提出了一个关于不确定成本和需求量的运输模型及关于固定费用运输问题的不确定规划模型。同时，崔教授和盛教授在2012年提出了关于固体运输问题的不确定模型。

在实践中，虽然单位运输成本和需求量是不确定的，供应商根据年生产能力的统计数据常常可以预测供应量的分布情况。因此，对于供应商，供应能力应该是被看作随机变量而不是不确定变量。因为上述原因，本文的主要目的是研究一种与随机供应量、不确定单位成本和不确定需求量有关的的运输模型。

本文由6个部分组成。论文提纲如下，在第2章中，主要给出一些基本概念和结果。在第3章中，构造了一个与不确定的成本和随机需求量有关的概念运输模型。在第4章中，根据不确定性理论和概率论，提出了模型的清晰等价形式。之后，在第5章给出了一个数值例子。最后一章是对本文的简要总结。

第2章 准备工作

在这一节中，我们给出了不确定理论中的一些必要的概念和结果。

假设是非空集合，L是关于的代数，每一个元素L称为一个事件，数M{}表示会出现的水平，不确定测度M被认为是一组函数以满足以下四条公理：

公理1. M{}=1是的通用设置。

公理2.M{} M{}=1适用于中任何事件。

公理3. 对于每一个事件的可数序列，，...，都有

M{}le;{}。 (1)

注意三重集合（，L，M）被称为不确定空间集合。

公理4. 让（，，）为不确定空间集合，其中，k=1,2,...。产品不确定测量M是一个不确定度量满足

M{}=M{} (2)

是从中任意选择的事件，其中，k=1,2,...。

定义1 不确定的变量是不确定性空间集合（，L，M）中的一个函数，真实数集如是设置为B的任何博雷尔集的一个事件。

定义2 符合不确定分布：R→[0,1]的不确定变量被定义为（x）=M{le;x}。 (3)

定义3 不确定变量被成为正常的如果它符合正态分布

(x)=(1 exp((e-x)/())),xR (4)

用N(e,)表示，其中，e,是实数，gt;0。

定义4 使为规则不确定分布(x)中的不确定变量。反函数()被称为关于的逆不确定分布。显然，正态不确定变量N(e,)符合一个规则的不确定性分布，其逆不确定性分布是

()=exp(e /ln(a/(1-a)) (5)

我们假设本文中的所有不确定性分布都是规则的。

定理1 ，，...，分别是规则不确定分布，，...，中的独立不确定变量。如果函数f(x₁，x₂，...，x_n)在x₁，x₂，...，x_m严格增长，在x_{m 1}，x_{m 2}，...，x_n严格降低，然后不确定变量=f(，，...，)符合逆分布

()=f((),...,(),(1-),...,(1-))。 (6)

为了对不确定变量进行排序，引入了不确定变量的期望值。

定义5 是不确定变量，期望值为E()=M{ge;x}dx-M{le;x}dx (7)

假设至少有一个积分是有限的。

很容易地，我们可以证明，正常的不确定变量N(e,)有一个期望值e，i.e.，E()=e。

定理2 假设，，...，分别是规则不确定分布，，...，中的独立不确定变量。如果函数f(x₁，x₂，...，x_n)在x₁，x₂，...，x_m严格增长，在x_{m 1}，x_{m 2}，...，x_n严格降低，然后不确定变量=f(，，...，)有期望值

E()=f((),...,(),(1-),...,(1-))d (8)

假设x为一个决策向量，并且是一个不确定向量。对于给定的置信水平，，...，，刘教授在2009年提出下面的编程模型，

(9)

定理3 假设约束函数g(x，₁，₂，...，_n)在₁，₂，...，_k严格增长，在_{k 1}，_{k 2}，...，_n严格降低，如果，，...，分别是规则不确定分布，，...，中的独立不确定变量。然后机会约束为

M{g(x，₁，₂，...，_n)le;0}ge; (10)

有且仅当

g(x,(),...,(),(1-),...,(1-))le;0 (11)

第3章 问题描述

假设在一个运输问题中有m个起源地，n个目的地，目标是制定一个运输计划是总运输成本最小。用c_ij表示从起源地i到目的地j的单位运输量的成本，x_ij表示从起源地i到目的地j运输的容量，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n。起源地i的容量和目的地j的最小需求量分别用a_i和b_j表示，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n，因此，这个运输问题如下描述：

minc_ijx_ij

x_ij le;a_i，i=1,2,...,m

x_ij ge;b_j，j=1,2,...,n

x_ij ge;0，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n (12)

在这个模型中，第一个约束表明从起源地i运输的总容量不超过起源地的供应量a_i，另一个约束表明运输到目的地j的总运输量应该满足目的地j的需求量，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n 。在现实世界中，由于运输规划需要提前进行，所以决策者可能会遇到各种不确定因素，包括天气因素和交通因素。其结果是，在上述模型中的参数是未知的和不确定的。因此，对于供应商，决策者可以根据过去几年的生产能力对供应量作出预测。也就是说，供应量应被视为随机变量。但是面对新的需求商时，决策者只取决于专家的数据可以对需求量和单位运输成本做出预测。因此，根据以上理由，我们可以假设c_ij和b_j 是独立的不确定变量，a_i是随机变量，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n 。

第4章 数学模型

基于以上假设，很明显，模型（12）仅仅是一个概念模型，因为没有一个相对于不确定性变量和随机变量的订货单。因此，在模型（12）中，我们采取目标函数的期望值和约束条件的置信水平。然后，我们得到它的等价形式如下，

minE[c_ijx_ij]

P[x_ij le;a_i]ge;，i=1,2,...,m

M{x_ij ge;b_j}ge;，j=1,2,...,n

x_ij ge;0，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n (13)

和分别是i=1,2,...,m, j=1,2,...,n 的预定概率和不确定置信水平。应用概率论和不确定性理论，将模型（13）转化为一个等价的清晰的数学模型。

定理4 假设b_j和c_ij分别是规则不确定分布和的独立不确定变量，i=1,2,...,m, j=1,2,...,n ，假设a_i是规则可能性分布的随机变量，i=1,2,...,

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